21 ottobre 2012

Il principio di Kruskal o come trovare "Dio" con la matematica

Oggi è il compleanno di Martin Gardner, e in tutto il mondo si celebra il Martin Gardner Day. In Italia, il Gathering for Gardner si terrà a Genova. Questo post è dedicato a lui e al suo genio creativo

Gli uomini hanno elaborato molti modi per trovare Dio. Tra le altre cose, gli illusionisti possono usare la matematica.

Nel corso di questo articolo approfondirò un principio statistico che può essere sfruttato per un gioco di prestigio con le carte: il “Principio di Kruskal”. Per metterlo alla prova è sufficiente un normale mazzo di carte. Lo stesso principio consente di trovare Dio. O più precisamente, di trovare “Dio”.

Le regole del gioco

1) Stendi 52 carte faccia in alto, da sinistra verso destra.

2) Scegli una delle prime dieci carte a sinistra. Il suo valore ti indicherà di quante carte a destra spostarti (se hai scelto un 3, dovrai spostarti sulla terza carta successiva. Le figure valgono 1).

3) Il valore della nuova carta ti indicherà di quante carte spostarti di nuovo a destra (se ad esempio sei finito su un asso, dovrai spostarti sulla carta successiva).

4) Prosegui gli spostamenti, che verranno indicati ogni volta dal valore della carta scelta, finché arrivi al fondo del mazzo e dalla carta cui sei arrivato non puoi più spostarti senza oltrepassare l’ultima.

Per quanto sembri strano, il prestigiatore è in grado di prevedere quale sarà la carta finale: ciò è reso possibile da un principio enunciato per la prima volta nel 1957 da Alexander F. Kraus(1) e approfondito dal punto di vista statistico da Martin Kruskal (1925-2006).(2) La buona riuscita dell’effetto non è sicura. Scelte nel modo giusto, le condizioni del gioco consentono di presentarlo in una versione che raggiunge la probabilità del 94% di riuscita.

Per conoscere il valore della carta al termine del percorso è sufficiente che il prestigiatore percorra il mazzo a partire dalla prima carta seguendo le regole: con ogni probabilità, tutte le prime 10 conducono alla stessa carta.

Qui sotto un esempio di percorso che il mago può effettuare mentalmente:

Dall’asso di cuori ci si sposta di 1 passo alla carta successiva - il sette di picche. Dal sette ci si sposta di 7 passi per arrivare al due di quadri. Dal due ci si sposta di 2 passi fino al cinque di cuori e così via, fino al nove di quadri da cui ci si sposta di 9 passi fino al fante di picche. Il prestigiatore scrive su un foglietto “fante di picche”. Con ogni probabilità, partendo da una qualsiasi delle prime dieci carte, lo spettatore finirà la conta sulla stessa carta.

Puoi giocare con una versione virtuale del gioco a questo indirizzo.

Considerazioni matematiche (per esperti)

Ho scritto che il gioco funziona spesso, ma… quanto spesso? Qual è la probabilità che la previsione sia giusta?

Ho calcolato le probabilità che riesca attraverso una simulazione di Montecarlo, prendendo in considerazione 5000 diversi mazzi di carte.

Poiché si possono scegliere diverse regole, ho valutato situazioni differenti, variando rispettivamente:

a) il numero di carte nel mazzo iniziale;

b) il valore dato alle figure (Fante, Donna e Re);

c) l’ampiezza dell’insieme di carte da cui può scegliere di partire lo spettatore;

d) la posizione della carta da cui parte il mago per fare la previsione.

È facile riscontrare che:

• il mazzo di 40 carte è il peggiore che si possa usare: utilizzando i quattro semi delle carte fino al 10 (quindi escludendo le figure), le probabilità di successo sono del 77% circa (colonna rossa); utilizzando invece tutte le 52 carte (e facendo valere 1 le figure) le probabilità sono del 94% circa (colonna verde). In figura sono illustrate le probabilità al variare del numero di carte utilizzate. Come si spiega il salto tra la penultima e l’ultima colonna?

• il salto si spiega con il fatto che le probabilità aumentano all’allungarsi del percorso dalla prima carta scelta all’ultima. Se in un mazzo ci sono tante carte di alto valore, i salti più lunghi riducono il numero di carte che vengono toccate durante il percorso, e questo abbassa le probabilità di successo. Assegnando alle figure il valore 1, si massimizza la lunghezza dei percorsi, migliorando le prestazioni del mazzo. In figura sono illustrate le probabilità di un mazzo di 52 carte al variare dei valori assegnati alle figure. Come si vede, il valore migliore è 1:

• lo spettatore può scegliere di partire da una delle prime 10 carte. Maggiore è l’ampiezza di scelta che gli viene data, minori sono le probabilità che l’effetto si chiuda con successo. Ovviamente, se lo spettatore è costretto a partire dalla prima carta, il gioco funziona il 100% delle volte. E’ necessario trovare un giusto equilibrio che faccia percepire allo spettatore una piena libertà ma che contemporaneamente non estenda a tutto il mazzo la possibilità di iniziare la conta. Il valore 10, scelto all’inizio, è del tutto arbitrario e garantisce la già citata probabilità del 94%. Se lo spettatore potesse scegliere di partire da una qualsiasi delle 52 carte, la probabilità sarebbe del 72% circa. In realtà si tratta di un caso limite, impossibile da presentare: c’è, infatti, il rischio che la carta da cui desidera partire lo spettatore sia successiva alla carta prevista, il che abbassa ulteriormente la percentuale stimata. Il 72% non tiene, infatti, conto di questa eventualità. Può essere utile rilevare che il gioco riesce ancora nel 90% dei casi se allo spettatore è concesso di scegliere una delle prime 20 carte, scende invece all’80% se la scelta è allargata alle prime 43 carte. Ecco come varia la probabilità all’aumentare dell’ampiezza della scelta iniziale:

• il fatto che il mago non parta dalla prima carta ma dalla seconda, dalla terza, ecc. ha una lieve influenza sulla percentuale di riuscita, che diminuisce all’aumentare della posizione della carta da cui parte. Ciò è dovuto al fatto che, allontanandosi dalla prima posizione, il percorso in media si accorcia e quindi - da quanto visto sopra - con esso diminuiscono le probabilità di successo. La prima posizione è quindi quella ottimale.

E’ liberamente scaricabile l’algoritmo che ho creato per effettuare l’analisi statistica.

Il principio applicato a un libro

Nel 1998 John Allen Paulos propose di applicare il principio a un testo letterario.(3) Scegliendo liberamente una delle prime 10 parole e contando il numero di lettere che la compongono, è possibile compiere un percorso da una parola alla successiva, fino all’ultima raggiungibile - che è quasi sempre la stessa.

Martin Gardner ne diede un esempio biblico sul numero di agosto 1998 di Scientific American:(4)

Martin Gardner, "A Quarter Century of Recreational Mathematics" in Scientific American, agosto 1998.

Scegliendo una parola dal primo versetto e attraversando il testo, fermandosi sulla prima parola che appartiene al terzo versetto, si finisce sempre su GOD.

L’anno successivo Gardner ripropose il gioco con il primo paragrafo della dichiarazione di indipendenza americana, mostrando che anche in questo caso si finisce sempre su GOD.(5)

Naturalmente il gioco funziona in qualsiasi lingua. I primi tre versetti della Bibbia conducono tutti alla parola LUCE:

1. In principio Dio creò il cielo e la terra.
2. Ora la terra era informe e deserta e le tenebre ricoprivano l’abisso e lo spirito di Dio aleggiava sulle acque.
3. Dio pronunciò le parole: «Sia la luce!». E la luce fu.

Per verificarlo - o mettere alla prova altri testi - ho realizzato uno strumento per l'Analisi automatica di percorsi di Kruskal, accessibile cliccando qui.

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⁽¹⁾ Alexander F. Kraus, "Sum Total" in Ibidem N. 12 (dicembre 1957) e N. 13 (marzo 1958).
Si veda anche Julian Havil, Impossible?: Surprising Solutions to Counterintuitive Conundrums, Princeton University Press, 2009, pp. 131-140.

⁽²⁾ Ed Marlo, "Approaches and Uses for the Kruskal Kount", 15.2.1975 (in Charles Hudson, "Card Corner" in The Linking Ring, dicembre 1976, pp. 82-87.),
Martin Gardner e Karl Fulves, "The Kruskal Principle" in The Pallbearers Review, giugno 1975,
Martin Gardner, "Mathematical Games" in Scientific American, N. 238, febbraio 1978, pp. 19-32,
Martin Gardner, "Ten Amazing Mathematical Tricks" in Math Horizons, Vol. 6, N. 1, settembre 1998, pp. 13-15.26,
Martin Gardner, From Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers (capitolo 19), W.H. Freeman Co., New York 1988,
John M. Pollard, "Kruskal’s Card Trick" in The Mathematical Gazette, Vol. 84, N. 500, luglio 2000, pp. 265-267,
Jeffrey C. Lagarias, Eric Rains and Robert J. Vaderbei, "The Kruskal Count", 12.10.2001.

⁽³⁾ John Allen Paulos, Once Upon a Number - The Hidden Mathematical Logic of Stories, Basic Books, November 1998, p. 64.

⁽⁴⁾ Martin Gardner, "A Quarter Century of Recreational Mathematics" in Scientific American, agosto 1998.

⁽⁵⁾ Martin Gardner, "Some Math Magic Tricks with Numbers" in Games Magazine, maggio 1999.

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 21 ottobre 2012 nella categoria PRECOGNIZIONE

12 maggio 2010

L'almanacco astrologico dei Maya

Non credevo di riuscire a leggere la pagina di un oracolo maya con così grande facilità: merito della sorprendente abilità divulgativa di Michael Finley, che qui illustra in modo chiaro e dettagliato come decifrare gli oscuri geroglifici del Codice di Dresda.

Come tutti i libri maya, il Codice è costituito da una lunghissima striscia di carta alta una ventina di centimetri e lunga svariati metri. La striscia è piegata a soffietto in tante pagine larghe circa 15 centimetri, ed è costituita da una fibra ricavata da una varietà selvatica di fico che veniva assottigliata e imbiancata attraverso uno strato di calce spalmato sulla sua superficie.

Il primo a decifrare una parte dei misteriosi geroglifici impressi sul codice tedesco fu un bizzarro e geniale studioso autodidatta di origini francesi, tale Constantine Samuel Rafinesque (1783-1840). Oltre che di botanica, archeologia, zoologia e meteorologia, Rafinesque si occupava anche di linguistica, e in un articolo pubblicato nel febbraio 1832 su una rivista da lui curata(1) rivelò di aver imparato a contare come la sconosciuta civiltà che aveva realizzato il codice di Dresda. Non sapeva ancora che si trattasse dei Maya, ma la sua intuizione si rivelò preziosissima nei decenni a venire.

Il codice riportava diverse strisce con simboli stilizzati di questo tipo:

Particolare del Codex Dresdensis, p.27. I numeri rappresentati sono: sulla prima riga 16, 2, 15 e 15; sulla seconda riga 3, 14, 4 e 12.

Lo studioso francese scrisse che rappresentavano dei numeri, e notando che i pallini non erano mai più di quattro, suggerì che questi valessero 1 e che le linee valessero 5.

Il primo simbolo in alto a sinistra significava dunque 16, poiché era la somma di un pallino (1) e di tre linee (3×5=15); il secondo simbolo, la coppia di pallini, valeva 2, mentre il terzo, le tre linee, valeva 15 (3×5). Il tempo avrebbe dato ragione a Rafinesque: si trattava proprio di numeri, e una volta indovinata la chiave, il metodo per convertirli nella notazione occidentale era molto semplice.

Pochi anni dopo si scoprì che i Maya erano in grado di usare i punti e le linee per esprimere numeri anche molto grandi, disponendoli su più livelli. I numeri da 1 a 19 erano di semplice scrittura, mentre il 20 introduceva una novità sorprendente: il numero zero, rappresentato da una conchiglia.

Archivista della biblioteca che lo custodiva, Ernst Wilhelm Förstemann (1822-1906) era molto interessato alla decifrazione del Codice di Dresda: i disegni che lo decoravano erano rimasti oscuri fino alla scoperta della Relacion del las Cosas de Yucatan, il libro scritto nel 1566 dal conquistador Diego De Landa; sulla Relacion a ogni giorno era associato un diverso geroglifico ed erano annotate, come noi facciamo sui moderni calendari da muro, le principali festività religiose. Studiando questo testo, Förstemann aveva scoperto che i maya utilizzavano un calendario chiamato Tzolkin.

Mentre noi oggi abbiamo 7 nomi per i giorni della settimana e (circa) 30 giorni in un mese, il calendario Tzolkin contava i giorni da 1 a 13 e aveva 20 giorni della settimana, i cui nomi erano Ymix, Ik, Akbal, Kan, Chikchan, Cimi, Manik, Lamat, Muluc, Oc, Chuen, Eb, Ben, Ix, Men, Cib, Caban, Etz'nab, Cauac e Ahau.

Dopo lunedì 7 noi abbiamo martedì 8, mentre loro dopo 1 Ymix avevano 2 Ik, seguito da 3 Akbal, 4 Kan, e così via... Arrivati a 13 Ben, la numerazione ricominciava da 1 e si entrava nell'1 Ix, poi nel 2 Men, eccetera.

Utilizzando quindi la Relacion come chiave di lettura, il ricercatore tedesco si era soffermato su alcune pagine del Codex e si era accorto di trovarsi di fronte a un almanacco astronomico e astrologico simile a quelli che oggi si vendono in edicola a firma di Frate Indovino.

L'almanacco del religioso di Cerqueto non consente soltanto di tenere nota dello scorrere dei giorni, ma offre anche diverse previsioni del futuro. Alcune sono assolutamente esatte, e riguardano le fasi lunari, gli orari di alba e tramonto, il santo del giorno e le festività. Altre sono più vaghe e discutibili: quando il frate prevede per un giorno un tempo "moderatamente soleggiato", senza specificare dove, a quale regione si sta riferendo? E dal momento che l'edizione da cui traggo la previsione è andata in stampa oltre un anno fa, in che modo può pretendere di conoscere con tanto anticipo le condizioni atmosferiche odierne? Altre previsioni vaghe dell'almanacco sono quelle che riguardano la vita pubblica italiana: "I politici impareranno a risparmiare... diminuendo la quantità del buonsenso".

Förstemann scoprì che il Codice di Dresda aveva le stesse funzioni: non serviva soltanto a tenere il computo dei giorni, ma anche a segnalare la divinità venerata, le festività, a prevedere le fasi lunari, la posizione di alcune stelle e le eclissi. Accanto a queste previsioni "precise", altre erano più vaghe: i giorni potevano essere fortunati (utz) o sfortunati (lob), e ognuno era propizio per alcune attività e non altre, a seconda delle divinità che partecipavano alla staffetta di ogni giorno. I giorni dedicati a Ix Chel, ad esempio, incoraggiavano attività legate alla medicina e alla nascita dei bambini. Per ottenere un buon raccolto di mais era invece consigliato seminare nei giorni 8 o 9 Kan.

Per tradurre una pagina fitta di simboli misteriosi è molto utile adoperare il dizionario fornito da Diego De Landa. Il frammento del codice riprodotto di seguito deve essere suddiviso in quattro blocchi verticali, che i Maya chiamavano t'ols:

Particolare del Codex Dresdensis, pp.16-17.

Osserviamo ora i cinque simboli a sinistra, contrassegnati dall'asterisco: se cerchiamo il loro significato sulla Relacion del francescano spagnolo, scopriamo che si tratta del nome di alcuni giorni. A parte il quarto dall'alto, gli altri si riconoscono facilmente: si tratta di Muluc, Ymix, Ben e Caban.

Particolare della versione a stampa del libro di Diego De Landa Relacion del las Cosas de Yucatan

BLOCCO I - A sinistra di Muluc c'è un pallino, che indica il numero 1: la data completa è dunque 1 Muluc. La divinità ritratta nel primo blocco è Ix Chel, che per i Maya era associata alla nascita e alla guarigione; il giorno 1 Muluc era dunque propizio per queste due attività. I quattro simboli in testa al blocco costituivano una previsione relativa allo stesso giorno, che scritta in caratteri latini recita "Chak u kuch Chel ahawlel" ovvero "Chak [dio della pioggia] è il carico di Chel e si impone". I sacerdoti erano incaricati di interpretare questi oracoli, conoscendo le caratteristiche delle varie divinità e il significato di ogni loro accostamento, e in questo caso l'immagine di vittoria finale ("si impone") era considerata positiva, dunque il giorno 1 Muluc era da ritenersi fortunato.

Sotto i quattro simboli compare un numero facilmente riconoscibile, il 13, che indica un intervallo temporale: indica che il prossimo oracolo farà riferimento a 13 giorni dopo.

BLOCCO II - Tredici giorni dopo l'1 Muluc è il 1 Ik: il secondo blocco corrisponde dunque a questo nuovo giorno. La frase in alto è di cattivo presagio, dunque si tratterà di un giorno sfortunato. Sotto la frase, i pallini indicano il numero 4.

BLOCCO III - Facendo scorrere altri 4 giorni, si arriva al 5 Cimi, cui si applica l'oracolo riportato nel terzo blocco.

In basso si riconosce un simbolo che è una variante del numero 20: significa che il blocco successivo, il quarto, si riferisce a una data che cadrà tra 20 giorni.

BLOCCO IV - Venti giorni più tardi è il 12 Cimi. La regola per passare da un blocco all'altro è sempre la stessa, e il numero 15 che compare in basso nel quarto blocco significa che è sufficiente calcolare il quindicesimo giorno dopo il 12 Cimi per andare a capo e ricominciare dalla seconda riga. Facendo passare altri 15 giorni si arriva all'1 Ymix, che è proprio il simbolo che appare in testa alla seconda riga.

La pagina copre, dunque, venti giorni complessivi e i quattro presagi si ripetono per cinque volte (infatti l'oracolo del primo blocco vale per l'1 Muluc ma anche per l'1 Ymix, l'1 Ben, ecc.)

Avendo capito la regola, è facile interpretare correttamente anche il quarto simbolo che non avevamo trovato sul dizionario di Diego De Landa. Con pochi calcoli, si ricostruisce facilmente la pagina completa, scoprendo che il simbolo misterioso significava Chikchan:

1 Muluc	+13 gg.	1 Ik	+ 4 gg.	5 Cimi	+20 gg.	12 Cimi	+15 gg.
1 Ymix	+13 gg.	1 Ix	+ 4 gg.	5 Etz'nab	+20 gg.	12 Etz'nab	+15 gg.
1 Ben	+13 gg.	1 Cimi	+ 4 gg.	5 Oc	+20 gg.	12 Oc	+15 gg.
1 Chikchan	+13 gg.	1 Etz'nab	+ 4 gg.	5 Ik	+20 gg.	12 Ik	+15 gg.
1 Caban	+13 gg.	1 Oc	+ 4 gg.	5 Ix	+20 gg.	12 Ix	...torna a 1 Muluc

Un ulteriore affascinante dettaglio di questa tavola è il fatto che fosse completamente ciclica: se parto dall'ultimo giorno in basso a destra (12 Ix) e calcolo il quindicesimo giorno successivo, ritorno al giorno in alto a sinistra (1 Muluc). Se dunque una singola tavola copriva 20 giorni sparsi lungo l'arco temporale dei 260 giorni del ciclo Tzolkin, erano sufficienti 13 tavole di questo tipo per avere un oracolo corrispondente ad ogni giorno dell'anno sacro! E infatti, esattamente 13 tavole del Codice di Dresda erano dedicate a questo sorprendente almanacco astrologico.

Nota: Le note raccolte in questa pagina sono un minuscolo estratto di una più vasta ricerca alle origini della leggenda sulla fine del mondo del 2012, che verranno pubblicate nel mio prossimo libro 2012, è in gioco la fine del mondo? (Roma: Iacobelli, 2010).

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⁽¹⁾ Constantine Samuel Rafinesque, Atlantic journal and friend of knowledge, 1833, p.44.

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 12 maggio 2010 nella categoria PRECOGNIZIONE

1 maggio 2010

Alcune idee originali dai miei lettori

La settimana che si conclude oggi ha visto un doppio appuntamento con i lettori.

Martedì pomeriggio, insieme a Giovanni Filocamo, ero alla Libreria FNAC Torino Centro a presentare La magia dei numeri.

Venerdì sera ho presentato una conferenza sulla magia dei numeri presso il Circolo Amici della Magia di Torino. Nel corso dell'incontro, molto interattivo, alcuni colleghi prestigiatori mi hanno dato ottime idee che qui condivido.

Un esperimento numerologico (La magia dei numeri, pag.200)

Quando si hanno più spettatori di fronte, Angelo Cauda suggerisce di coinvolgere tutto il pubblico nella scelta del numero a tre cifre: in questo modo, sembra che tutti i numeri scelti liberamente siano divisibili per 7, 11 e 13. Poiché le operazioni non sono banali ed è difficile fornire a tutti gli spettatori una calcolatrice tascabile, mi viene in mente che quando ci si trova davanti a un pubblico particolarmente giovane, tutti hanno un cellulare con la funzione "calcolatrice". Xavier aggiunge che i tre numeri potrebbero venir forzati a uno spettatore con tre carte da gioco (un sette, un Jack e un Re).

Davide Brizio mi scrive:

Volevo segnalarti una notizia curiosa che puoi utilizzare nel tuo gioco dei numeri divisibili per 7, 11 e 13 (io l'ho già fatto con diversi amici e il gioco piace moltissimo!). Visto che utilizzi il 13 come ultimo numero, ho scoperto su un sito numerologico che al numero 13 "è associato il significato della fine di un ciclo, dal fatto che ci sono tredici mesi lunari in un anno e tredici sono i segni nell'astrologia celtica e dei nativi americani. Nella geometria sacra Tredici simboleggia l'eterna distruzione e creazione della vita."
Il numero perfetto per concludere il ciclo e tornare al tuo numero originario!

Mi sembra un suggerimento perfettamente centrato sugli aspetti simbolici da sottolineare nel corso dell'effetto: bel consiglio!

La busta chiusa (La magia dei numeri, pag.113)

Nel corso della conferenza ho presentato il gioco in una versione con i simboli ESP (è possibile scaricarla da qui in formato PDF):

Poiché ho spiegato che è difficile compilare una griglia con dei numeri, che non possiedono alcuna simmetria rotatoria, Massimiliano Scibilia suggerisce di usare le facce dei dadi: bellissima idea, che vi propongo qui di seguito (è possibile scaricarla da qui in formato PDF):

Se non avete voglia di fotocopiare il libro, potete scaricare da qui in formato PDF la versione riportata a pagina 113.

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 1 maggio 2010 nella categoria PRECOGNIZIONE

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