21 ottobre 2012

Il principio di Kruskal o come trovare "Dio" con la matematica

Oggi è il compleanno di Martin Gardner, e in tutto il mondo si celebra il Martin Gardner Day. In Italia, il Gathering for Gardner si terrà a Genova. Questo post è dedicato a lui e al suo genio creativo

Gli uomini hanno elaborato molti modi per trovare Dio. Tra le altre cose, gli illusionisti possono usare la matematica.

Nel corso di questo articolo approfondirò un principio statistico che può essere sfruttato per un gioco di prestigio con le carte: il “Principio di Kruskal”. Per metterlo alla prova è sufficiente un normale mazzo di carte. Lo stesso principio consente di trovare Dio. O più precisamente, di trovare “Dio”.

Le regole del gioco

1) Stendi 52 carte faccia in alto, da sinistra verso destra.

2) Scegli una delle prime dieci carte a sinistra. Il suo valore ti indicherà di quante carte a destra spostarti (se hai scelto un 3, dovrai spostarti sulla terza carta successiva. Le figure valgono 1).

3) Il valore della nuova carta ti indicherà di quante carte spostarti di nuovo a destra (se ad esempio sei finito su un asso, dovrai spostarti sulla carta successiva).

4) Prosegui gli spostamenti, che verranno indicati ogni volta dal valore della carta scelta, finché arrivi al fondo del mazzo e dalla carta cui sei arrivato non puoi più spostarti senza oltrepassare l’ultima.

Per quanto sembri strano, il prestigiatore è in grado di prevedere quale sarà la carta finale: ciò è reso possibile da un principio enunciato per la prima volta nel 1957 da Alexander F. Kraus(1) e approfondito dal punto di vista statistico da Martin Kruskal (1925-2006).(2) La buona riuscita dell’effetto non è sicura. Scelte nel modo giusto, le condizioni del gioco consentono di presentarlo in una versione che raggiunge la probabilità del 94% di riuscita.

Per conoscere il valore della carta al termine del percorso è sufficiente che il prestigiatore percorra il mazzo a partire dalla prima carta seguendo le regole: con ogni probabilità, tutte le prime 10 conducono alla stessa carta.

Qui sotto un esempio di percorso che il mago può effettuare mentalmente:

Dall’asso di cuori ci si sposta di 1 passo alla carta successiva - il sette di picche. Dal sette ci si sposta di 7 passi per arrivare al due di quadri. Dal due ci si sposta di 2 passi fino al cinque di cuori e così via, fino al nove di quadri da cui ci si sposta di 9 passi fino al fante di picche. Il prestigiatore scrive su un foglietto “fante di picche”. Con ogni probabilità, partendo da una qualsiasi delle prime dieci carte, lo spettatore finirà la conta sulla stessa carta.

Puoi giocare con una versione virtuale del gioco a questo indirizzo.

Considerazioni matematiche (per esperti)

Ho scritto che il gioco funziona spesso, ma… quanto spesso? Qual è la probabilità che la previsione sia giusta?

Ho calcolato le probabilità che riesca attraverso una simulazione di Montecarlo, prendendo in considerazione 5000 diversi mazzi di carte.

Poiché si possono scegliere diverse regole, ho valutato situazioni differenti, variando rispettivamente:

a) il numero di carte nel mazzo iniziale;

b) il valore dato alle figure (Fante, Donna e Re);

c) l’ampiezza dell’insieme di carte da cui può scegliere di partire lo spettatore;

d) la posizione della carta da cui parte il mago per fare la previsione.

È facile riscontrare che:

• il mazzo di 40 carte è il peggiore che si possa usare: utilizzando i quattro semi delle carte fino al 10 (quindi escludendo le figure), le probabilità di successo sono del 77% circa (colonna rossa); utilizzando invece tutte le 52 carte (e facendo valere 1 le figure) le probabilità sono del 94% circa (colonna verde). In figura sono illustrate le probabilità al variare del numero di carte utilizzate. Come si spiega il salto tra la penultima e l’ultima colonna?

• il salto si spiega con il fatto che le probabilità aumentano all’allungarsi del percorso dalla prima carta scelta all’ultima. Se in un mazzo ci sono tante carte di alto valore, i salti più lunghi riducono il numero di carte che vengono toccate durante il percorso, e questo abbassa le probabilità di successo. Assegnando alle figure il valore 1, si massimizza la lunghezza dei percorsi, migliorando le prestazioni del mazzo. In figura sono illustrate le probabilità di un mazzo di 52 carte al variare dei valori assegnati alle figure. Come si vede, il valore migliore è 1:

• lo spettatore può scegliere di partire da una delle prime 10 carte. Maggiore è l’ampiezza di scelta che gli viene data, minori sono le probabilità che l’effetto si chiuda con successo. Ovviamente, se lo spettatore è costretto a partire dalla prima carta, il gioco funziona il 100% delle volte. E’ necessario trovare un giusto equilibrio che faccia percepire allo spettatore una piena libertà ma che contemporaneamente non estenda a tutto il mazzo la possibilità di iniziare la conta. Il valore 10, scelto all’inizio, è del tutto arbitrario e garantisce la già citata probabilità del 94%. Se lo spettatore potesse scegliere di partire da una qualsiasi delle 52 carte, la probabilità sarebbe del 72% circa. In realtà si tratta di un caso limite, impossibile da presentare: c’è, infatti, il rischio che la carta da cui desidera partire lo spettatore sia successiva alla carta prevista, il che abbassa ulteriormente la percentuale stimata. Il 72% non tiene, infatti, conto di questa eventualità. Può essere utile rilevare che il gioco riesce ancora nel 90% dei casi se allo spettatore è concesso di scegliere una delle prime 20 carte, scende invece all’80% se la scelta è allargata alle prime 43 carte. Ecco come varia la probabilità all’aumentare dell’ampiezza della scelta iniziale:

• il fatto che il mago non parta dalla prima carta ma dalla seconda, dalla terza, ecc. ha una lieve influenza sulla percentuale di riuscita, che diminuisce all’aumentare della posizione della carta da cui parte. Ciò è dovuto al fatto che, allontanandosi dalla prima posizione, il percorso in media si accorcia e quindi - da quanto visto sopra - con esso diminuiscono le probabilità di successo. La prima posizione è quindi quella ottimale.

E’ liberamente scaricabile l’algoritmo che ho creato per effettuare l’analisi statistica.

Il principio applicato a un libro

Nel 1998 John Allen Paulos propose di applicare il principio a un testo letterario.(3) Scegliendo liberamente una delle prime 10 parole e contando il numero di lettere che la compongono, è possibile compiere un percorso da una parola alla successiva, fino all’ultima raggiungibile - che è quasi sempre la stessa.

Martin Gardner ne diede un esempio biblico sul numero di agosto 1998 di Scientific American:(4)

Martin Gardner, "A Quarter Century of Recreational Mathematics" in Scientific American, agosto 1998.

Scegliendo una parola dal primo versetto e attraversando il testo, fermandosi sulla prima parola che appartiene al terzo versetto, si finisce sempre su GOD.

L’anno successivo Gardner ripropose il gioco con il primo paragrafo della dichiarazione di indipendenza americana, mostrando che anche in questo caso si finisce sempre su GOD.(5)

Naturalmente il gioco funziona in qualsiasi lingua. I primi tre versetti della Bibbia conducono tutti alla parola LUCE:

1. In principio Dio creò il cielo e la terra.
2. Ora la terra era informe e deserta e le tenebre ricoprivano l’abisso e lo spirito di Dio aleggiava sulle acque.
3. Dio pronunciò le parole: «Sia la luce!». E la luce fu.

Per verificarlo - o mettere alla prova altri testi - ho realizzato uno strumento per l'Analisi automatica di percorsi di Kruskal, accessibile cliccando qui.

_________________

⁽¹⁾ Alexander F. Kraus, "Sum Total" in Ibidem N. 12 (dicembre 1957) e N. 13 (marzo 1958).
Si veda anche Julian Havil, Impossible?: Surprising Solutions to Counterintuitive Conundrums, Princeton University Press, 2009, pp. 131-140.

⁽²⁾ Ed Marlo, "Approaches and Uses for the Kruskal Kount", 15.2.1975 (in Charles Hudson, "Card Corner" in The Linking Ring, dicembre 1976, pp. 82-87.),
Martin Gardner e Karl Fulves, "The Kruskal Principle" in The Pallbearers Review, giugno 1975,
Martin Gardner, "Mathematical Games" in Scientific American, N. 238, febbraio 1978, pp. 19-32,
Martin Gardner, "Ten Amazing Mathematical Tricks" in Math Horizons, Vol. 6, N. 1, settembre 1998, pp. 13-15.26,
Martin Gardner, From Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers (capitolo 19), W.H. Freeman Co., New York 1988,
John M. Pollard, "Kruskal’s Card Trick" in The Mathematical Gazette, Vol. 84, N. 500, luglio 2000, pp. 265-267,
Jeffrey C. Lagarias, Eric Rains and Robert J. Vaderbei, "The Kruskal Count", 12.10.2001.

⁽³⁾ John Allen Paulos, Once Upon a Number - The Hidden Mathematical Logic of Stories, Basic Books, November 1998, p. 64.

⁽⁴⁾ Martin Gardner, "A Quarter Century of Recreational Mathematics" in Scientific American, agosto 1998.

⁽⁵⁾ Martin Gardner, "Some Math Magic Tricks with Numbers" in Games Magazine, maggio 1999.

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 21 ottobre 2012 nella categoria PRECOGNIZIONE

24 gennaio 2012

Il College Mathematics Journal Vol.43 N.1 su Martin Gardner

Il The College Mathematics Journal di gennaio 2012 è dedicato a Martin Gardner: copertina e articoli riprendono alcuni dei temi da lui trattati sulle rubriche di matematica ricreativa.

Arthur T. Benjamin, autore dell’articolo "Squaring, Cubing, and Cube Rooting", è un matematico prestigiatore che approfondisce il tema dei calcoli effettuabili a velocità prodigiosa. "Magic Knight’s Tours" di John D. Beasley si occupa, invece, di quadrati magici che al contempo risolvono il noto problema del salto del cavallo. In "Martin Gardner’s Mistake" Tanya Khovanova analizza un errore commesso dal divulgatore americano nella soluzione di un popolarissimo indovinello. "Cups and Downs" di Ian Stewart è dedicato alla generalizzazione di un semplice e affascinante gioco di lettura del pensiero che sfrutta tre monete.

Il The College Mathematics Journal è edito dalla Mathematical Association of America, ed è scaricabile integralmente da Internet.

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 24 gennaio 2012

6 luglio 2011

Archeologia, dadi e matematica

L'isola degli zombie è popolata da esseri umani e morti viventi: i primi dicono sempre la verità, mentre i secondi mentono regolarmente. Un'antica maledizione rende le cose ancora più complicate, perché nessuno può rispondere con le parole "sì" o "no"; gli abitanti dell'isola usano, al loro posto, le parole "bal" e "da" - ma non sappiamo quale delle due significhi "sì" e quale "no".

Questo luogo della fantasia venne creato da Raymond Smullyan come ambientazione per alcuni indovinelli pubblicati sul suo Qual è il titolo di questo libro?(1) La sfida proposta consiste nell'indovinare il significato delle due parole, ponendo opportune domande a uno o più abitanti di cui si ignora la natura.

Per esempio, se incontrate un indigeno, quale domanda vi consente di determinare il significato di "bal"?

Vedi la soluzione in nota(2).

Da decenni gli archeologi si dedicano a un problema linguistico simile: gli Etruschi usavano le parole "huth" e "sa" per chiamare i numeri 4 e 6, ma non sappiamo in che ordine. A differenza degli abitanti dell'isola degli zombie, oggi nessun Etrusco può essere interrogato sull'argomento, e quindi l'indagine deve basarsi su altre evidenze.

Parte della lingua etrusca venne ricostruita a partire da tre lamine d'oro rinvenute nel 1964 nel sito archeologico di Pyrgi: qui un testo compare sia in lingua etrusca, sia in lingua fenicia. I pochi reperti di questo tipo hanno consentito di identificare alcuni numeri (thu = 1, zal = 2, ci = 3, mach = 5) ma non di individuare con certezza la corrispondenza di "huth" e "sa" con i numeri 4 e 6.

Sarà presto pubblicato su Archaeometry un curioso studio di Gilberto Artioli, Ivana Angelini e Vincenzo Nociti(3) che prende in considerazione 93 dadi etruschi - 91 dei quali con le facce coperte da puntini e 2 con i numeri espressi a parole. La disposizione dei numeri sulle facce non è casuale: in alcuni dadi segue una regola, mentre negli altri ne segue un'altra. Teoricamente le facce potrebbero essere disposte sulla base di un criterio scelto tra 15 diversi(4), ma il fatto che gli etruschi si fossero fissati su due soltanto rende l'analisi molto più semplice.

La prima regola stabilisce che le facce opposte riportano coppie di numeri in ordine crescente: dietro l'1 c'è il 2, dietro il 3 c'è il 4 e dietro il 5 c'è il 6.

La seconda regola è quella in uso ancora oggi, e fissa che la somma di due facce opposte faccia sempre 7 (dunque dietro l'1 c'è il 6, dietro il 2 c'è il 5 e dietro il 3 c'è il 4).

Lo studio della serie di 91 dadi ha rivelato che la prima regola definì la disposizione dei dati fino al V secolo a.C., poi fu lentamente introdotta la seconda regola, che si impose definitivamente dal III secolo a.C. in avanti.

Artioli e colleghi si sono accorti di un aspetto interessante: in entrambi i casi, dietro il 3 c'era il 4!

Prendendo in esame questo dado che presenta i numeri espressi a parole:

...i tre studiosi hanno visto che la faccia del 3 (ci) si trova sul lato opposto rispetto a sa, e quindi hanno concluso che sa corrisponde al 4 - e dunque, per esclusione, huth vale 6!(5)

Tale risultato è doppiamente interessante perché contrario all'opinione di gran parte degli archeologi, che in passato hanno sostenuto la corrispondenza inversa.(6)

_________________

⁽¹⁾ Raymond Smullyan, What is the Name of This Book?, Prentice-Hall, New Jersey 1978. Per risolvere questo genere di indovinelli, Adam Kolany ha proposto un metodo generalizzato nel suo articolo "A General Method of Solving Smullyan's Puzzles" in Logic and Logical Philosophy, Vol. 4 (1996),pp.97–103.

⁽²⁾ La domanda è «Sei umano?» Entrambi risponderanno con una parola che significa "sì", e a seconda della risposta (che sarà "bal" o "da") sarà possibile determinare il significato di "bal" (e per esclusione, di "da").

⁽³⁾ Artioli G., Nociti V., Angelini I., "Gambling With Etruscan Dice: A Tale Of Numbers And Letters" in Archaeometry, 53 (2011). Un ringraziamento particolare a Roberto Labanti che me l'ha segnalato.

⁽⁴⁾ Dietro l'1 si può mettere una faccia qualsiasi scelta tra cinque diverse (2, 3, 4, 5 e 6). Compiuta questa scelta, restano quattro facce da assegnare. Scelta una faccia, dietro le si può mettere una faccia qualsiasi scelta tra le tre rimanenti. L'ultima scelta è obbligata. Le combinazioni complessive si ottengono moltiplicando le 5 scelte della prima faccia e le 3 scelte della terza, ottenendo 15.

⁽⁵⁾ Conoscendo il nome degli altri numeri, Artioli e colleghi hanno anche scoperto che il dado sopra segue la seconda regola. Infatti huth (6) si trova sul lato opposto rispetto a thu (1) e zal (2) si trova sul lato opposto rispetto a mach (5).

⁽⁶⁾ Il primo ad affermare che huth = 4 e sa = 6 fu H. L. Stoltenberg, "Die Bedeutung der etruskischen Zahlnamen" in Glotta, vol. XXX (1943), pp.234-244.

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 6 luglio 2011 nella categoria NUMEROLOGIA

« POST PIÙ VECCHI

POST PIÙ RECENTI »