24 marzo 2010

Fibonacci Magic

Vivendo a Torino, i miei ospiti mi chiedono spesso perché sulla Mole Antonelliana - monumento simbolo della città - compaiano alcuni numeri luminosi. Si tratta di un'installazione artistica di Mario Merz, chiamata "Il volo dei numeri", e i numeri non sono stati scelti a caso: si tratta, infatti, dei numeri di Fibonacci.

Sfruttando una caratteristica di tale successione numerica, è possibile presentare un sorprendente effetto di magia matematica(1).

Chiedi a qualcuno di scrivere su un foglietto - uno sotto l'altro - due numeri. Può scegliere due numeri qualsiasi, ma per semplificare i calcoli che dovrà fare, è consigliabile la scelta di due numeri compresi tra 1 e 10.

Sotto i due numeri dovrà scrivere la somma dei due. Sotto l'ultimo numero appena scritto dovrà scrivere il risultato della somma del secondo e del terzo numero. L'operazione dovrà ripetersi più volte: ogni volta, sotto la lista dovrà scrivere la somma degli ultimi due numeri scritti.

Se ad esempio i primi due numeri scritti saranno 1 e 3, effettuerà la somma e scriverà 4. Poi sommerà 3 e 4 ottenendo 7. Poi sommerà 4 e 7 ottenendo 11, e così via, fino ad ottenere una lista di 10 numeri in tutto (compresi i primi due) - come nell'esempio qui sotto:

1
3
4
7
11
18
29
47
76
123

Allontanati in modo da non vedere, concentrati e fingi di leggere i numeri con il Terzo Occhio: poi annuncia che la somma dei numeri (che non hai mai visto) fa 319. Il calcolo si rivelerà corretto!

Il segreto "operativo" di questa performance è questo: per ottenere al volo la somma, ignora i numeri scritti sul foglietto e concentrati solo sul settimo della lista. Moltiplicalo mentalmente per 11 (il che è particolarmente facile: ti sarà sufficiente aggiungergli uno zero a destra e sommargli sé stesso), e otterrai subito la somma dei 10 numeri. Nel caso in questione, il settimo numero è il 29, dunque mentalmente tu eseguirai la somma 290 + 29 che fa 319. Per "sbirciare" quel numero, avvicinati mentre la persona sta scrivendo: fingi di assicurarti che tutto vada bene, e butta l'occhio sul settimo della lista: a questo punto potrai allontanarti, sottolineando il fatto che non hai neppure bisogno di guardare l'elenco completo.

Il segreto "matematico" è ingegnoso: la lista che si produce non è che una sequenza di Fibonacci facile da analizzare.

Se i numeri pensati sono a e b, la lista completa dei dieci numeri - espressa con variabili - è la seguente:

a
b
a+b
a+2b
2a+3b
3a+5b
5a+8b
8a+13b
13a+21b
21a+34b

L'espressione che rappresenta la somma di questi 10 numeri è

55a+88b

che è facile vedere essere il prodotto del settimo termine (5a+8b) per 11.

_________________

⁽¹⁾ http://people.bath.ac.uk/jrg22/FibonacciNumbers.html

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 24 marzo 2010 nella categoria CHIAROVEGGENZA