24 marzo 2010

Fibonacci Magic

Vivendo a Torino, i miei ospiti mi chiedono spesso perché sulla Mole Antonelliana - monumento simbolo della città - compaiano alcuni numeri luminosi. Si tratta di un'installazione artistica di Mario Merz, chiamata "Il volo dei numeri", e i numeri non sono stati scelti a caso: si tratta, infatti, dei numeri di Fibonacci.

Sfruttando una caratteristica di tale successione numerica, è possibile presentare un sorprendente effetto di magia matematica(1).

Chiedi a qualcuno di scrivere su un foglietto - uno sotto l'altro - due numeri. Può scegliere due numeri qualsiasi, ma per semplificare i calcoli che dovrà fare, è consigliabile la scelta di due numeri compresi tra 1 e 10.

Sotto i due numeri dovrà scrivere la somma dei due. Sotto l'ultimo numero appena scritto dovrà scrivere il risultato della somma del secondo e del terzo numero. L'operazione dovrà ripetersi più volte: ogni volta, sotto la lista dovrà scrivere la somma degli ultimi due numeri scritti.

Se ad esempio i primi due numeri scritti saranno 1 e 3, effettuerà la somma e scriverà 4. Poi sommerà 3 e 4 ottenendo 7. Poi sommerà 4 e 7 ottenendo 11, e così via, fino ad ottenere una lista di 10 numeri in tutto (compresi i primi due) - come nell'esempio qui sotto:

1
3
4
7
11
18
29
47
76
123

Allontanati in modo da non vedere, concentrati e fingi di leggere i numeri con il Terzo Occhio: poi annuncia che la somma dei numeri (che non hai mai visto) fa 319. Il calcolo si rivelerà corretto!

Il segreto "operativo" di questa performance è questo: per ottenere al volo la somma, ignora i numeri scritti sul foglietto e concentrati solo sul settimo della lista. Moltiplicalo mentalmente per 11 (il che è particolarmente facile: ti sarà sufficiente aggiungergli uno zero a destra e sommargli sé stesso), e otterrai subito la somma dei 10 numeri. Nel caso in questione, il settimo numero è il 29, dunque mentalmente tu eseguirai la somma 290 + 29 che fa 319. Per "sbirciare" quel numero, avvicinati mentre la persona sta scrivendo: fingi di assicurarti che tutto vada bene, e butta l'occhio sul settimo della lista: a questo punto potrai allontanarti, sottolineando il fatto che non hai neppure bisogno di guardare l'elenco completo.

Il segreto "matematico" è ingegnoso: la lista che si produce non è che una sequenza di Fibonacci facile da analizzare.

Se i numeri pensati sono a e b, la lista completa dei dieci numeri - espressa con variabili - è la seguente:

a
b
a+b
a+2b
2a+3b
3a+5b
5a+8b
8a+13b
13a+21b
21a+34b

L'espressione che rappresenta la somma di questi 10 numeri è

55a+88b

che è facile vedere essere il prodotto del settimo termine (5a+8b) per 11.

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⁽¹⁾ http://people.bath.ac.uk/jrg22/FibonacciNumbers.html

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 24 marzo 2010 nella categoria CHIAROVEGGENZA

18 marzo 2010

Illusionismo e hacking

C'è una stretta parentela tra l'illusionismo e l'hacking.

Kevin Mitnick, uno dei più grandi hacker del mondo, racconta nella sua biografia che, da bambino, amava i giochi di prestigio, e che la forma mentis acquisita per diventare prestigiatore gli fu molto utile quando, negli anni successivi, avrebbe affrontato problemi simili nel mondo della sicurezza informatica. Leggere all'interno di una busta chiusa per presentare un esperimento di chiaroveggenza richiede un approccio molto simile al tentativo di consultare segretamente un database custodito in un computer protetto da password. Sono molto simili le tecniche del cold reading dei mentalisti e quelle dell'ingegneria sociale attraverso le quali si rubano credenziali di accesso e parole chiave.

In questo bell'articolo Angelo Righi tributa al mago Silvan il merito di avergli insegnato tre regole fondamentali alla base dell'hacking. Scrive Angelo:

Insieme al "manuale delle Giovani Marmotte" e al "manuale di Paperinik", ["Il manuale di Silvan"] era un vero miraggio per i bambini anni Settanta. Possederlo significava avere accesso ai gradi più alti della conoscenza, un po' come se fosse il Necronomicon. Bastava accennare al fatto di conoscere qualcuno che lo possedesse per essere immediatamente guardati con un misto di timore e invidia.

In seconda elementare un mio compagno di classe possedeva il manuale di Paperinik, e ricordo con precisione l'enorme invidia e la grandissima curiosità per il suo contenuto, che invece veniva da lui gelosamente custodito "perché è mio e lo leggo solo io". Porto ancora dentro quel senso del "sacro": ogni volta che trovo uno di questi manuali su una bancarella, pur possedendone a casa una copia, mi sento spinto ad acquistarlo per toglierlo dal mercato e allontanarlo da qualunque possibile acquirente.

Scrive ancora Angelo:

Il manuale di Silvan conteneva una biografia dell'illusionista, alcuni esercizi quotidiani e una serie di giochi, alcuni anche molto interessanti. Dall'ultima volta che ho sfogliato quel libro saranno passati 25 anni, prima che magicamente svanisse. Ma ricordo ancora i tre consigli fondamentali di Silvan. Consigli che possono rivelarsi estremamente utile anche a chi voglia misurarsi nell'arte dell'intrusione:

1. Conoscere un trucco è niente - Per un hacker, conoscere una tecnica o un exploit, ma anche una metodologia non serve a nulla. Può tornare utile in qualche discussione da bar (o in qualche blog o forum). Ma una conoscenza astratta alla fine non può nemmeno dirsi conoscenza.
2. Saperlo fare è già qualcosa - Sapere mettere in pratica la tecnica o saper eseguire un exploit è già qualcosa. Ma non basta. Sfruttare un bug in laboratorio o in un ambiente controllato può essere interessante a livello dimostrativo o didattico, ma non basta se l'obiettivo è introdursi furtivamente in un sistema.
3. Saperlo presentare è tutto - Affrontare un hackeraggio vero comporta imprevisti e incognite. Oltre alla conoscenza delle tecniche occorre l'esperienza che permette di adattarsi alle situazioni non previste. Bisogna saper scegliere i tempi giusti e gli strumenti giusti. Il tutto mentre si è sotto pressione: un errore può essere fatale. Basta un gesto sbagliato dell'illusionista e tutto il lavoro svolto crolla.

Per sottolineare ancora di più la vicinanza tra i due mondi, propongo qui di seguito una parafrasi di un testo che insegna a diventare hacker, mettendo in luce quanto i principi dell'hacking possano essere preziose fonti di ispirazione per i prestigiatori. Ogni volta che si parla di hacking, l'ho liberamente tradotto come se parlasse di illusionismo.

Questa è una breve lezione per apprendere i rudimenti della prestigiazione. Non si tratta di un'analisi approfondita di un gioco in particolare, nè in questa sede verrà spiegato l'uno o l'altro gioco di prestigio. Prova a chiedere ad un qualsiasi mago "Mi spieghi quel gioco?" e chiunque ti guarderà storto. Perché succede questo? Il mondo della magia manca forse di solidarietà e complicità? Niente affatto, il punto non è questo. Il punto è che nessuno può insegnarti a diventare un mago spiegandoti un gioco. O meglio, possono spiegarti un gioco, una tecnica, ma questo non fa di te un mago. Al contrario: se ti spiegano un gioco, ti impediscono di ragionare per tuo conto sullo stesso e di scoprire per conto tuo le sue finezze. Ma se è così, dove si impara a diventare prestigiatori? La cosa più importante da fare è leggere. I testi possono essere i più vari, ma evita come la peste titoli come "Anche tu mago" o "Diventa mago in 15 minuti", che spesso si rivelano una perdita di tempo. Leggi invece le biografie dei prestigiatori e gli studi analitici delle loro carriere: questi testi sono pieni di informazioni fondamentali per imparare a fare magia. Perché la magia è, soprattutto, un'arte. E come tale, richiede pazienza e intelligenza. Non si ottengono facili gratificazioni, ma quando si è sufficientemente bravi, il risultato può essere enormemente piacevole.

Da incorniciare.

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 18 marzo 2010 nella categoria CHIAROVEGGENZA

14 marzo 2010

Ahmadinejad incastrato da un trucco matematico?

Alla fine degli Anni Sessanta, durante la Guerra Fredda tra Stati Uniti e Unione Sovietica, si diffuse la voce secondo cui i russi spendevano milioni di rubli ogni anno per reclutare medium, sensitivi e individui dotati di capacità chiaroveggenti, per destinarli a mansioni di spionaggio e controspionaggio "psichico". Il 25 gennaio 1963 il Time aveva pubblicato un articolo dedicato a Rosa Kuleshova, intitolato "Vedere con la punta delle dita"; l'idea che una ragazza russa di 22 anni potesse leggere da bendata faceva tremare l'intelligence americana: come difendere i propri segreti dalle spie psichiche oltre la Cortina di Ferro? Sarà il matematico Martin Gardner a smascherare i suoi trucchi nel 1981.

Prova che lo spionaggio psichico è tutto un inganno? Dipende dall'accezione del termine "chiaroveggenza". E' nota l'utilità della matematica per scoprire informazioni nascoste, e l'uso che ne ha fatto l'astronomo polacco Boudewijn F. Roukema ha tutta l'aria di un'operazione di raffinato spionaggio. Il 12 giugno 2009 si tengono le elezioni presidenziali iraniane: la sfida è fra Ahmadinejad, presidente uscente e Moussavi, leader dell'opposizione. Il giorno dopo vengono annunciati i risultati. Ahmadinejad ha vinto con il 62,6%. Moussavi, però, denuncia irregolarità nel voto e chiede nuove elezioni. Il 14 giugno 2009 i risultati in dettaglio delle elezioni vengono pubblicati su Internet dal ministro degli interni iraniano; è da qui che Roukema li scarica, con l'idea di tentare una geniale operazione di spionaggio politico: vuole scoprire con la matematica se, a 3000 chilometri di distanza, ci sono state delle irregolarità nel conteggio dei voti. Chiuso nel suo ufficio presso l'Università Nicolò Copernico di Turonia, l'astronomo utilizza per la sua indagine una legge matematica poco conosciuta ma molto potente: la "legge di Benford".

Nel 1938 Frank Benford aveva scoperto che, se si prende una raccolta di numeri tratti dalla vita quotidiana (la popolazione dei comuni di una regione, la quotazione delle azioni di una giornata, i numeri sulle porte di casa di una via), è più facile che un numero cominci con una cifra piccola rispetto al fatto che cominci con una cifra grande; in altre parole, la probabilità che un numero della raccolta inizi con l'uno è circa del 30% mentre la probabilità che inizi con il nove è minore del 5%. Poiché ciò accade soltanto quando i numeri sono scelti da situazioni "naturali", nel 1971 il matematico e consulente di Google Hal Varian ha l'idea di usare la legge di Benford per individuare eventuali falsificazioni nelle raccolte di dati, basandosi sul presupposto per cui chi modifica manualmente delle liste di numeri, difficilmente riesce a farlo rispettando la distribuzione "naturale" delle prime cifre: più probabilmente sceglie i numeri senza pensarci troppo, lasciando quindi le impronte "matematiche" della frode.

Boudewijn F. Roukema utilizza proprio questo metodo(1): città per città, analizza la prima cifra del numero di voti e confronta i suoi conti con quelli "naturali" che seguono la legge di Benford. Su un grafico, tratteggia la linea naturale e fa un pallino per ognuna delle prime cifre: l'1 compare circa il 34% delle volte, quindi lo mette in alto; il 2 compare poco più del 15% delle volte, e così via.

Tutto bene, fino al numero 7: questo compare troppe volte rispetto a quanto ci si aspetterebbe, e il pallino è molto distante dalla linea tratteggiata. E' un campanello d'allarme. Il grafico si riferisce ai voti del terzo candidato, Mehdi Karroubi. Roukema approfondisce la questione, scoprendo che l'anomalia riguarda tre delle sei più grandi aree dell'Iran. In queste stesse zone, il vincitore Ahmadinejad ha una proporzione di voti più alta rispetto alle altre.

E' stata la matematica a condurre lo scienziato polacco dove nessuna spia chiaroveggente è mai arrivata: a supportare statisticamente l'ipotesi di un broglio senza neppure spostarsi dalla propria scrivania!

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⁽¹⁾ L'articolo di Roukema può essere scaricato da qui: http://arxiv.org/abs/0906.2789

Questo post è stato pubblicato da Mariano Tomatis il 14 marzo 2010 nella categoria CHIAROVEGGENZA

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