Il brano che segue è tratto da Mariano Tomatis, “La magia dei numeri. Ingegneria della meraviglia al servizio della didattica.” in Francesca Ferrara, Livia Giacardi, Miranda Mosca (edd.), Conferenze e seminari 2010-2011, Kim Williams Books, Torino 2012, pp.157-165.

I moderni teorici dell’illusionismo ritengono la loro disciplina una forma di “ingegneria della meraviglia”. Tale emozione è innescata da uno stimolo che viola le aspettative di chi osserva, incoerente con il proprio modello di realtà. A seconda del contesto in cui avviene tale violazione, sono possibili diverse reazioni: un animale che spunta all’improvviso mentre stiamo guidando di notte indurrà uno stato di paura, mentre una festa di compleanno a sorpresa produrrà più probabilmente sensazioni positive; la reazione immediata è legata al valore emotivo della violazione. In un periodo più lungo, la durata dell’emozione è proporzionale alla rilevanza dell’esperienza stuporosa nel contesto delle credenze dell’individuo: se è poco rilevante, può indurre un sentimento di apatia, mentre se è in gioco qualcosa di più importante, le sensazioni possono andare dalla semplice curiosità al vero interesse, fino all’ossessione. Per “risolvere” la violazione, chi osserva può (e deve) mettere in conto un più o meno grande sforzo intellettuale.

Raphaël Seth Taylor ha descritto questo modello attraverso una Chain of Wonder (“catena della meraviglia”) definita da una serie di frecce: lo stimolo iniziale può generare percorsi ad altezze diverse e produrre risultati differenti, che vanno dalla mera frustrazione a un vero e proprio “cambio di paradigma”.

Commenta Taylor:

Persone diverse mirano a percorsi diversi attraverso questa catena. I prestigiatori puntano ad accompagnare gli spettatori dalla violazione di un’aspettativa fino alla meraviglia, disinteressandosi dei passaggi successivi. Il loro obiettivo è di indurre tale emozione e aiutare a esperirla. Al contrario gli insegnanti sono concentrati sull’obiettivo dell’apprendimento, e a volte addirittura sull’indurre un cambio di paradigma. Per raggiungerli, è necessario calibrare il giusto grado di rilevanza con il giusto livello di sforzo richiesto: uno sforzo troppo modesto potrebbe non essere sufficiente a lasciare traccia nella memoria degli studenti, e al contempo la richiesta di uno sforzo eccessivo potrebbe ostacolarli nel processo di apprendimento. L’obiettivo è di condurre gli studenti attraverso il percorso della meraviglia violando le loro aspettative attraverso esperienze interessanti. (1) 

[Leggi la dissertazione di Raphaël Seth Taylor nella Biblioteca Magica del Popolo]

Altri divulgatori hanno individuato, nel senso della meraviglia, un forte stimolo all’apprendimento (2) : non a caso, uno dei maggiori divulgatori matematici del XX secolo è stato Martin Gardner, scrittore prolifico ma anche affermato illusionista. Lungi dall’essere soltanto una tra le tanti arti teatrali, l’illusionismo può fornire utili spunti agli insegnanti, in particolare nelle materie in cui sono pertinenti le tecniche dei prestigiatori – matematica e fisica in primis.

Il semplice fatto di accostare la matematica, la più rigorosa delle scienze, e il mondo della magia e del paranormale, che si collocano in una oscura regione liminale tra la realtà e l’illusione, produce reazioni di stupore. La solidità dei risultati ottenuti nel primo ambito sembra non trovare alcuna corrispondenza nell’ambiguità e nelle controversie legate ai tipici temi della parapsicologia. È probabilmente per questa distanza “strutturale” che il profilo del matematico e quello dello studioso del paranormale si sono raramente sovrapposti. Le poche eccezioni hanno avuto un ruolo fondamentale nel mostrare quali e quanti siano i punti di contatto tra matematica e parapsicologia.

La matematica dietro le quinte

Il duplice interesse per la matematica ricreativa e i trucchi magici ha fortemente influenzato l’opera letteraria del già citato Martin Gardner, e a lui dobbiamo alcuni dei più interessanti testi sull’uso che si può fare di principi numerici per creare l’illusione del paranormale. In questo caso, il ruolo della matematica resta nascosto dietro le quinte, costituendo il trucco grazie al quale si può produrre un fenomeno apparentemente paranormale. E proprio nella logica dei prestigiatori, il trucco c’è… ma non si deve vedere: quando infatti si scorgesse il ruolo dei numeri alla base dell’illusione, questa svanirebbe.

Accendete una calcolatrice, schiacciate in sequenza il tasto 9, il tasto + e il tasto 0. Sul visore comparirà semplicemente lo 0, come se la calcolatrice fosse stata appena accesa. Siete pronti per stupire i vostri amici. Coinvolgete qualcuno spiegandogli che i vostri “poteri psicocinetici” vi consentono di spostare gli oggetti col pensiero. Aggiungete che non sono così potenti da farvi spostare una pietra, ma funzionano bene su oggetti molto leggeri, come i numeri in cristalli liquidi sul visore di una calcolatrice. Per dimostrarlo, battete in sequenza i tasti 1 e 2: sul visore verrà visualizzato il numero 12. Ora fingete di concentrarvi e dite che cercherete di scambiare le due cifre con la forza del pensiero. Tenete la calcolatrice sulla punta del pollice e dell’indice, facendo in modo che il pollice si trovi nei pressi del tasto con l’uguale: scuotete leggermente la calcolatrice, e approfittate di questo momento per schiacciare con il pollice il tasto in questione. Comparirà il numero 21, e sembrerà che siate stati in grado di scambiare magicamente le cifre 1 e 2! In realtà, non avete fatto altro che eseguire una banale somma (9 + 12 = 21), la prima metà della quale è rimasta nascosta dietro le quinte durante la fase di preparazione della calcolatrice.

Rivelare a una classe di studenti il segreto di questo gioco è solo il primo passo di un percorso didattico, che potrebbe proseguire invitandoli a escogitare varianti dell’effetto magico; solleticando la loro creatività, li si potrebbe sfidare a capovolgere il numero 1234 per ottenere 4321. Solo manipolando algebricamente le varie quantità è possibile risalire al numero 3087, ottenuto calcolando la differenza tra 4321 e 1234. Se lo si scrive seguito dal + e dallo 0, la calcolatrice è pronta per la trasformazione del 1234 in 4321.

Le varianti proposte possono seguire percorsi differenti: a cambiare potrebbe essere l’operazione compiuta in segreto (per quale frazione è necessario moltiplicare 12 per ottenere 21?) oppure l’effetto magico (com’è possibile “spostare” magicamente una cifra di un lungo numero, partendo da 12345678 e arrivando a 81234567?). (3)  Squadre diverse di studenti potrebbero essere impegnate nell’elaborazione di giochi di magia diversi, e invitate – alla fine – a un’esibizione di fronte ai compagni.

La matematica come strumento di indagine

Il ricercatore Persi Diaconis ha dedicato svariati articoli alla relazione tra numeri e magia, riconoscendo alla matematica – e in particolare alla statistica – un ruolo di “controllore”. Dobbiamo a Joseph Rhine (1895-1980) l’introduzione del metodo statistico all’interno degli esperimenti parapsicologici su telepatia, chiaroveggenza, precognizione e psicocinesi; molti dei suoi straordinari risultati vennero, però, notevolmente ridimensionati dai ricercatori che si accorsero dei problemi statistici legati al particolare approccio seguito da Rhine. L’articolo di Diaconis “Problemi statistici nella ricerca sulla percezione extrasensoriale” (4)  presenta una lunga serie di riflessioni matematiche sugli errori sistematici che si possono commettere nel corso di indagini sui poteri della mente.

La statistica fu utilizzata anche per stimare le capacità telecinetiche del sedicente sensitivo isreaeliano Uri Geller. Oltre a sorprendenti esibizioni di chiaroveggenza (riusciva a riprodurre disegni chiusi dentro una busta), il sensitivo israeliano era in grado di piegare con la mente il metallo di cucchiaini e chiavi, e far ripartire orologi rotti senza neppure toccarli. Quest’ultima capacità era particolarmente notevole, perché sembrava funzionare anche a grande distanza: non era necessario che Geller si trovasse nei pressi degli orologi, ma poteva proiettare le sue energie molto lontano, anche attraverso un programma radiofonico o televisivo.

In genere, nel corso delle trasmissioni cui veniva invitato a partecipare, invitava il pubblico a recuperare dai cassetti gli orologi che non funzionavano più, e a stringerli tra le mani pensando alle parole: “Riparti! Riparti! Riparti!”. Con grande sorpresa, molti orologi ripartivano magicamente, e questa era considerata la “prova regina” delle sue facoltà telecinetiche. Contare i suoi successi, però, non è sufficiente: è necessario confrontarli con quelli che otterrebbe, nelle stesse condizioni, un uomo senza alcun potere – che possiamo battezzare “Medioman”.

L’idea venne nel 1977 a David Marks e Richard Kammann, due psicologi neozelandesi che fecero un interessante esperimento coinvolgendo alcuni studenti universitari. Costoro vennero invitati a scovare, tra amici e conoscenti, almeno una persona che avesse partecipato all’esperimento radiofonico di Geller: ne furono trovate tredici; cinque di loro avevano constatato che gli orologi erano ripartiti. Su questo campione, la percentuale di successo di Uri Geller era quindi del 38,5%. Gli stessi studenti, poi, furono invitati ad interpretare la parte di Medioman: per farlo, dovevano contattare qualcuno in possesso di un orologio rotto, e fornirgli le stesse istruzioni che Geller aveva dato alla radio; su 32 persone coinvolte, ben 22 di loro constatarono che il proprio orologio era ripartito – nonostante gli studenti non possedessero alcun potere telecinetico: Medioman aveva quindi una percentuale di successo pari al 68,9%. Lo stesso esperimento venne realizzato attraverso l’uso del telefono.

Al termine dei due esperimenti, Marks e Kammann avevano ottenuto i seguenti risultati:

Se confrontiamo semplicemente le percentuali di successo, vediamo che Uri Geller non si discosta molto dalle performance di Mediomen, e lo fa addirittura in direzione contraria a quanto ci aspetteremmo: sembra infatti ottenere meno risultati!

Queste ricerche vennero riportate in un articolo intitolato “I poteri non sensitivi di Uri Geller” (5) , dove Marks e Kammann fecero qualche ipotesi sui sorprendenti risultati di Medioman. Dopo aver chiesto ad alcuni orologiai, scoprirono che oltre metà degli orologi di cui veniva chiesta la riparazione non presentavano alcun problema meccanico, ma si erano fermati a causa di polvere, sporcizia o cattiva lubrificazione. Il semplice gesto di riprenderli dai cassetti in cui si trovavano agiva sui meccanismi, che una volta scossi leggermente e scaldati dal calore della mano, riprendevano a funzionare.

La tabellina 2×2 su riportata, nella quale si contano i successi e gli insuccessi di Uri Geller e di Medioman, è fondamentale nell’ambito della ricerca medica ed epidemiologica: serve a valutare statisticamente se una medicina è efficace o meno. Come nel caso dei superpoteri, non è sufficiente contare i pazienti che guariscono prendendo una medicina: bisogna contare anche quelli che guariscono avendo preso soltanto acqua e zucchero, convinti di aver assunto un farmaco. Spesso, infatti, la semplice idea di aver assunto qualche sostanza curativa ha degli effetti tangibili sull’organismo: è quello che si chiama “effetto placebo”.

In genere, la prima riga della tabella conta i risultati che ha ottenuto una medicina, mentre la seconda è riservata al placebo. Nel 2005, ad esempio, il dottor Richard B. Lipton fece una ricerca (6)  per valutare se l’Aspirina fosse efficace per contrastare gli attacchi di emicrania: presi 401 pazienti colpiti dal mal di testa, a 201 di loro diede un’Aspirina, mentre ai restanti 200 diede un’identica pastiglia amarognola, senza però alcun principio attivo. Dopo due ore, chiese ai pazienti se il mal di testa fosse passato, e ottenne questo risultato:

Confrontando i risultati delle due righe, Lipton non fece altro che valutare la differenza tra i “poteri” dell’Aspirina e quelli di una sostanza senza alcun potere, e concluse che l’Aspirina aveva probabilmente una vera efficacia:

Il trucco della selezione

Nel suo libro Viaggio nel mondo del paranormale Piero Angela proponeva una versione calcistica della telecinesi particolarmente curiosa:

Non la si potrebbe per esempio osservare in uno stadio di calcio? […] Ricordo che c’era una volta un tifoso napoletano che affermava di essere capace di influenzare la traiettoria del pallone con lo sguardo. Lo chiamavano occhio pesante… A seconda delle circostanze, occhio pesante si metteva dietro la porta avversaria per attirare il pallone, oppure dietro quella del Napoli per deviare i tiri e i calci di rigore. Perché no? Del resto se si pensa all’effetto cumulativo di tutti i tifosi di uno stadio, non c’è una probabilità statistica […] che le loro spinte mentali riescano a correggere la traiettoria del pallone? (7) 

L’idea delle “spinte mentali” mi piaceva così tanto che il 19 marzo 2009 la misi alla prova di fronte ad una platea di oltre 700 testimoni: per 10 volte invitai una persona a concentrarsi su una delle facce di una comune moneta – a volte “testa”, a volte “croce”; con il suo occhio pesante avrebbe dovuto influenzare la caduta della moneta sull’una o l’altra faccia. Come dotata di veri poteri telecinetici, questa persona spinse correttamente per dieci volte la moneta, facendola cadere sulla faccia da me richiesta – il tutto senza utilizzare una moneta truccata e senza sfruttare nessun principio illusionistico. Tutto si era svolto in piena luce, la moneta era stata lanciata in aria in modo del tutto casuale, e io stesso non potevo prevedere su quale faccia sarebbe caduta ogni volta. In che modo avevo trovato questo individuo straordinario, in grado di spingere la moneta con la sola forza del pensiero?

L’occasione era stata quella del Festival della Matematica di Roma, durante il quale ero stato invitato a tenere una lectio magistralis dal titolo “Matematica e paranormale”. Avevo aperto il mio intervento proprio con l’esperimento descritto, che – nonostante l’altissimo intento scientifico – aveva indotto grandi risate tra il pubblico. Il tutto, infatti, era avvenuto in un modo appena più complesso. Avevo, infatti, chiesto a tutti gli spettatori di alzarsi in piedi e di partecipare al più grande gioco di “Indovina chi?” del mondo. Metà del pubblico era stata invitata a spingere mentalmente la moneta affinché cadesse sulla testa, l’altra metà sulla croce. Dopo ogni lancio, una parte del pubblico aveva spinto correttamente, mentre la restante metà aveva fallito l’impresa: questi ultimi erano invitati a sedersi e ad uscire dal gioco, che continuava soltanto con quelli rimasti in piedi. Ogni volta avevo diviso in due gruppi i “superstiti”, e dopo ogni lancio metà degli spettatori usciva dal gioco sedendosi. Al decimo lancio erano in due i “concorrenti” rimasti in piedi: l’uno venne invitato a spingere la moneta sulla testa, l’altro sulla croce. La moneta decretò lo spettatore che, per dieci volte, aveva spinto correttamente sulla testa o sulla croce, come da me richiesto. La sua impresa era stata straordinaria e quasi impossibile dal punto di vista probabilistico; se avessi chiesto a chiunque di svolgere quel compito, la probabilità di spingere correttamente per 10 volte sarebbe stata inferiore a uno su mille. Feci notare che, nei panni di un giornalista poco serio, avrei potuto riportare quel risultato come ho fatto in apertura di questo paragrafo, nascondendo una parte della verità: il nostro presunto telecineta, infatti, proveniva da un campione di oltre 700 individui, e il procedimento proposto avrebbe sempre identificato, dopo 10 lanci, qualcuno che aveva spinto sempre correttamente. Il trucco sta, ovviamente, nel fatto di proseguire l’esperimento soltanto con chi fino a quel momento ha “spinto bene”, e poiché a ogni passo metà vengono invitati a spingere da una parte e metà dall’altra, ci sarà sempre una metà che “spinge bene”. Questo stratagemma è noto come “trucco della selezione”, ed è applicabile in innumerevoli situazioni.

Nel suo libro Il cigno nero il trader matematico Nassim Nicholas Taleb spiega che i giocatori d’azzardo ritengono che i principianti siano quasi sempre fortunati; in seguito le cose peggiorano, ma all’inizio vincono sempre più di quanto previsto dalle leggi della probabilità. Quale fondamento ha questa credenza? Taleb lo spiega in modo molto semplice:

Chi inizia a giocare d’azzardo potrà essere fortunato o sfortunato. […] I fortunati, che si sentiranno selezionati dal destino, continueranno a giocare; gli altri, scoraggiati, smetteranno e non appariranno nel campione. […] Coloro che continueranno a giocare ricorderanno di essere stati fortunati da principianti. Quelli che lasceranno perdere non faranno più parte della comunità dei giocatori d’azzardo attivi. Ecco spiegata la fortuna dei principianti. (8) 

Secondo Martin Gardner, lo stesso “trucco della selezione” sarebbe all’opera nell’ambito delle ricerche sul paranormale; questa volta, però, sarebbero i ricercatori ad esserne vittima.

Nel commentare gli esperimenti di Joseph Rhine, Gardner scriveva:

Supponiamo che uno sperimentatore sottoponga cento studenti ad un test in modo da selezionare quelli da sottoporre alla prova successiva. Secondo le leggi del caso, circa cinquanta studenti otterranno un punteggio superiore alla media e cinquanta inferiore. Lo sperimentatore decide che gli studenti con i punteggi più alti sono con più probabilità dei sensitivi e li chiama per un secondo test. Ancora una volta scarterà quelli con i punteggi più bassi e continuerà a lavorare con gli altri. Alla fine, rimarrà un solo individuo che ha realizzato un punteggio superiore alla media per sei o sette prove consecutive.” Fu Henry Louis Mencken ad esprimere nel modo più netto questa obiezione a Rhine: “Rhine seleziona le persone che indovinano le carte grazie a dei notevoli colpi di fortuna, e poi adduce i colpi di fortuna come prove dell’esistenza di poteri misteriosi! (9) 

In realtà, il “trucco della selezione” potrebbe agire all’insaputa dei ricercatori in un modo più sottile. Immaginiamo che 100 ricercatori, dopo aver letto un articolo sui lavori di Rhine, decidano di sottoporre a un test un individuo. Circa la metà di loro otterranno risultati sopra la media, e l’altra metà dei risultati più deludenti. Questi ultimi abbandoneranno la ricerca, e saranno solo i 50 più fortunati ad effettuare un secondo esperimento. A questo punto, metà di loro otterrà risultati promettenti e proseguirà nelle indagini, mentre l’altra metà si fermerà. Così facendo, rimarrà un solo sperimentatore: quello che ha lavorato con un soggetto che, per puro caso, ha sempre ottenuto punteggi superiori alla media. Costui, che non sa dell’esistenza di altri 99 ricercatori che hanno abbandonato le ricerche, crederà di trovarsi di fronte ad un soggetto dotato di facoltà paranormali, e racconterà nei dettagli l’indagine in una lettera che Rhine provvederà a pubblicare, con grande stupore di chi legge.

La più spettacolare dimostrazione del “trucco della selezione” si deve ad uno dei più geniali prestigiatori attualmente in attività, l’inglese Derren Brown. In uno special televisivo intitolato “Il Sistema”, andato in onda nel 2008 in Inghilterra su Channel 4, l’artista ha spiegato pubblicamente il suo metodo “garantito al 100%” per vincere puntando sulle corse dei cavalli. Secondo Brown, è possibile prevedere con assoluta certezza il cavallo che vincerà una corsa; per dimostrarlo, nel corso dello show viene raccontata la vera storia di una ragazza chiamata Khadisha, che per cinque gare consecutive era stata invitata a puntare su un cavallo, ogni volta diverso, che si era sempre rivelato il vincitore. Solo verso la fine dello show Derren Brown spiega che la ragazza non è che la fortunata prescelta da un classico meccanismo di selezione basato su successive eliminazioni, e che quindi il “Sistema” non esiste. Qualche mese prima, Brown aveva contattato per email 7776 persone, dividendole in 6 gruppi; ad ogni gruppo aveva consigliato di puntare su un cavallo diverso. Dopo la corsa, un sesto delle persone poteva constatare che il consiglio era stato vincente, mentre i restanti cinque sesti delle persone non venivano più contattati. Brown aveva quindi proseguito con le 1296 persone rimaste in gioco, che aveva suddiviso ulteriormente in sei gruppi, assegnando ad ognuno un cavallo diverso. Ripetendo questa procedura per cinque corse, era rimasta soltanto una persona: si trattava di Khadisha. Per pura fortuna, lei aveva sempre ricevuto una previsione corretta da parte di Derren Brown, e non sapeva di far parte di un gruppo più grande.

Il documentario è molto efficace nel tratteggiare la crescente convinzione, da parte della ragazza, di trovarsi di fronte ad un vero e proprio, per quanto misterioso, “Sistema” previsionale – o forse all’occhio pesante di Brown che riesce a “spingere” un cavallo per farlo vincere. Invitata a fare una sesta puntata, questa volta Khadisha perde tutto, ed è tragicamente costretta a prendere coscienza dell’errore percettivo in cui è cascata, dovuto al “trucco della selezione”: la sua fortuna, infatti, si è esaurita con il quinto cavallo. Ma Brown è anche un abile prestigiatore e, in conclusione, tra le mani della ragazza, si materializza la ricevuta di una puntata sul cavallo vincente!

E se il “trucco della selezione” fosse tra le cause della crisi economica che nel 2008 ha investito i mercati di tutto il mondo? È l’ipotesi avanzata dal su citato Nassim Nicholas Taleb, che nel suo libro Giocati dal caso (10)  presenta un esempio particolarmente inquietante di selezione: quello che riguarda i gestori finanziari cui affidiamo i nostri risparmi nella speranza che li facciano fruttare. Se immaginiamo 10000 investitori privi di qualunque competenza, 5000 di loro alla fine dell’anno avranno guadagnato più della media e gli altri 5000 avranno avuto delle performance negative. Possiamo pensare che questi ultimi si ritireranno dal mercato e proseguiranno nella loro attività solo i 5000 che possono vantare un anno di successi. Di questi 5000 incompetenti, per puro caso metà otterrà buoni risultati nel secondo anno, mentre l’altra metà avrà risultati sotto la media. Suddividendo e selezionando gli investitori anno per anno, dopo cinque anni avremo 313 gestori che, per pura fortuna, hanno sempre ottenuto risultati sopra la media. Quando costoro si presenteranno a casa nostra, sarà impressionante vedere la serie di colpi da loro messi a segno, opportunamente documentata, e saremo facilmente propensi ad affidare loro i nostri risparmi, senza accorgerci che ci stiamo fidando di gestori del tutto incompetenti, che si pavoneggiano di risultati esclusivamente dovuti al caso e non a reali capacità.

Prospettive

La letteratura illusionistica è molto vasta e poco esplorata da chi fa didattica; il ricchissimo materiale a disposizione può fornire all’insegnante una riserva pressoché inesauribile di “argomenti stuporosi”. Esplicitamente concepito come punto di partenza per attività didattiche in questo ambito, il mio libro La magia dei numeri (Kowalski 2010) presenta numerosi esempi pratici e i risultati di diversi studi sul campo; a metà tra il saggio di divulgazione e il manuale di giochi di prestigio, il testo individua, nel senso della meraviglia, un forte stimolo all’apprendimento, offrendo al lettore molteplici occasioni di approfondimento.

Note