Quando si percorrono in automobile le vie di una città, calcolare le distanze in linea d’aria è poco utile: a volte i sensi unici ci costringono a percorsi tortuosissimi, e poiché non possiamo passare attraverso gli edifici, dobbiamo zigzagare di continuo tra un incrocio e l’altro.

Per muoversi in una metropoli, è utile la “geometria del taxi” (1) , che a quella “in linea d’aria” sostituisce la distanza di Manhattan. Il quartiere newyorchese – proprio come la mia Torino – è caratterizzato da Street e Avenue che si incrociano rigorosamente in linea retta.

La distanza di Manhattan tra due punti si calcola collegandoli con un percorso lungo il quale potrebbe viaggiare un’automobile.

La distanza di Manhattan tra due punti su una mappa

La “geometria del taxi” viene usata dai criminologi negli algoritmi di geographic profiling.

Criminali in fuga e gioco degli scacchi

Nel suo libro Elementare, Wittgenstein!, dedicato alla filosofia del racconto giallo, Renato Giovannoli descrive l’indagine poliziesca utilizzando la metafora degli scacchi:

I pezzi del gioco corrisponderanno agli indizi; le mosse, ai fatti che l’investigatore, conoscendo le regole alle quali ogni pezzo del gioco è sottomesso, può ricostruire tramite inferenze; la scacchiera allo spazio in cui si svolge l’indagine e che con la sua forma ha determinato i fatti.

In linea con questa immagine, e per capire il contributo che gli scacchi possono dare alle vere indagini poliziesche, partiamo da un banale problema.

Qual è stata l’ultima mossa del bianco?

Per seguire questo esempio, non è necessario conoscere tutte le regole del gioco: basta sapere che il re può spostarsi di un passo alla volta (in orizzontale, verticale o diagonale) e che in quella posizione i due pedoni non possono muoversi perché si ostacolano a vicenda.

Queste due regole sono sufficienti per farci concludere che è stato il re a muoversi, e che prima dell’ultima mossa, poteva trovarsi in una qualsiasi delle otto caselle circostanti:

Nessun’altra casella gli avrebbe consentito di raggiungere, con un solo passo, quella in cui si trova adesso. È facile vedere che la risposta vale non soltanto per il passato ma anche per il futuro: se il problema chiedesse “Dove si troverà il re bianco dopo la prossima mossa?”, le stesse otto caselle rappresenterebbero tutti i traguardi raggiungibili in un passo.

Ovviamente, le 25 caselle raggiungibili in due mosse (le stesse su cui poteva trovarsi il re due mosse prima) si trovano tutte dentro un quadrato di raggio 2, e così via.

Per fare un paragone con il nostro mondo euclideo, immaginiamo un assassino che parta da casa, cammini per due ore e commetta un delitto. Colpirà in un luogo imprevedibile, ma se non supera mai i 10 km/h, certamente non potrà compiere il crimine fuori da un cerchio di 20 km intorno alla sua casa – e viceversa la sua casa si troverà entro 20 km dal luogo del delitto.

Viene qui in luce l’interessante intreccio tra la libertà e i vincoli che ci impone la natura umana. Le regole dei giochi fissano alcuni paletti, ma lasciano libero il giocatore di effettuare molte decisioni. Allo stesso modo, le direzioni che possiamo seguire durante una camminata sono una scelta libera, ma i limiti fisici ci impediranno di allontanarci troppo, nel tempo a disposizione. La nostra velocità massima fissa un orizzonte entro il quale siamo confinati. Una volta individuata questa regola, la matematica può fornire un utile contributo alla criminologia.

Molte volte, nei film polizieschi, abbiamo sentito un poliziotto esclamare, a proposito di un killer in fuga o di un prigioniero evaso: «Cercate nei paraggi: non può essersi allontanato troppo!» Il concetto espresso è ovviamente geometrico: la matematica non può dirci dove si trovi con esattezza il fuggitivo, ma può delimitare l’area in cui si trova. E spesso, fornire utili dettagli sul luogo in cui scovarlo.

Il “cerchio quadrato” della geometria del taxi

Nel nostro mondo euclideo, un cerchio è definito come l’insieme dei punti che si trovano – in linea d’aria – alla stessa distanza dal centro. Sulla scacchiera, però, i punti a distanza 1 dal centro (dove si trova il re) formano un quadrato.

Il “cerchio” di lato 1 sulla scacchiera, che ci appare come un quadrato

Lo stesso fanno i punti a distanza 2 dal re, che formano un quadrato più grande del primo. Ciò accade perché sulla scacchiera vige una geometria molto simile a quella del taxi! La scacchiera, dunque, è teatro di una curiosa (e impropria) “quadratura del cerchio”, e i matematici chiamano la sua geometria “non euclidea”.

Io a una certa “distanza da Manhattan”, 13 aprile 2011

Note