Il principio di Kruskal

Nel corso di questo articolo approfondirò un principio statistico che può essere sfruttato per un gioco di prestigio con le carte: il "Principio di Kruskal". Per metterlo alla prova è sufficiente un normale mazzo di carte.

Le regole del gioco

1) Stendi 52 carte faccia in alto, da sinistra verso destra.

2) Scegli una delle prime dieci carte a sinistra. Il suo valore ti indicherà di quante carte a destra spostarti (se hai scelto un 3, dovrai spostarti sulla terza carta successiva. Le figure valgono 1).

3) Il valore della nuova carta ti indicherà di quante carte spostarti di nuovo a destra (se ad esempio sei finito su un asso, dovrai spostarti sulla carta successiva).

4) Prosegui gli spostamenti, che verranno indicati ogni volta dal valore della carta scelta, finché arrivi al fondo del mazzo e dalla carta cui sei arrivato non puoi più spostarti senza oltrepassare l’ultima.

Per quanto sembri strano, il prestigiatore è in grado di prevedere quale sarà la carta finale: ciò è reso possibile da un principio enunciato per la prima volta nel 1957 da Alexander F. Kraus (1)  e approfondito dal punto di vista statistico da Martin Kruskal (1925-2006). (2)  La buona riuscita dell’effetto non è sicura. Scelte nel modo giusto, le condizioni del gioco consentono di presentarlo in una versione che raggiunge la probabilità del 94% di riuscita.

Per conoscere il valore della carta al termine del percorso è sufficiente che il prestigiatore percorra il mazzo a partire dalla prima carta seguendo le regole: con ogni probabilità, tutte le prime 10 conducono alla stessa carta.

Qui sotto un esempio di percorso che il mago può effettuare mentalmente:

Dall’asso di cuori ci si sposta di 1 passo alla carta successiva - il sette di picche. Dal sette ci si sposta di 7 passi per arrivare al due di quadri. Dal due ci si sposta di 2 passi fino al cinque di cuori e così via, fino al nove di quadri da cui ci si sposta di 9 passi fino al fante di picche. Il prestigiatore scrive su un foglietto "fante di picche". Con ogni probabilità, partendo da una qualsiasi delle prime dieci carte, lo spettatore finirà la conta sulla stessa carta.

Puoi giocare con una versione virtuale del gioco a questo indirizzo.

Considerazioni matematiche (per esperti)

Ho scritto che il gioco funziona spesso, ma… quanto spesso? Qual è la probabilità che la previsione sia giusta?

Le probabilità sono state calcolate con una simulazione di Montecarlo che ha preso in considerazione 5000 diversi mazzi di carte.

Poiché possiamo scegliere diverse regole, ho valutato situazioni differenti. Le varianti analizzate hanno preso in considerazione:

a) il numero di carte nel mazzo iniziale;

b) il valore dato alle figure (Fante, Donna e Re);

c) l’ampiezza dell’insieme di carte da cui può scegliere di partire lo spettatore;

d) la posizione della carta da cui parte il mago per fare la previsione.

È facile riscontrare che:

• il mazzo di 40 carte è il peggiore che si possa usare: utilizzando i quattro semi delle carte fino al 10 (quindi escludendo le figure), le probabilità di successo sono del 77% circa (colonna rossa); utilizzando invece tutte le 52 carte (e facendo valere 1 le figure) le probabilità sono del 94% circa (colonna verde). In figura sono illustrate le probabilità al variare del numero di carte utilizzate. Come si spiega il salto tra la penultima e l’ultima colonna?

• il salto si spiega con il fatto che le probabilità aumentano all’allungarsi del percorso dalla prima carta scelta all’ultima. Se in un mazzo ci sono tante carte di alto valore, i salti più lunghi riducono il numero di carte che vengono toccate durante il percorso, e questo abbassa le probabilità di successo. Assegnando alle figure il valore 1, si massimizza la lunghezza dei percorsi, migliorando le prestazioni del mazzo. In figura sono illustrate le probabilità di un mazzo di 52 carte al variare dei valori assegnati alle figure. Come si vede, il valore migliore è 1:

• lo spettatore può scegliere di partire da una delle prime 10 carte. Maggiore è l’ampiezza di scelta che gli viene data, minori sono le probabilità che l’effetto si chiuda con successo. Ovviamente, se lo spettatore è costretto a partire dalla prima carta, il gioco funziona il 100% delle volte. E’ necessario trovare un giusto equilibrio che faccia percepire allo spettatore una piena libertà ma che contemporaneamente non estenda a tutto il mazzo la possibilità di iniziare la conta. Il valore 10, scelto all’inizio, è del tutto arbitrario e garantisce la già citata probabilità del 94%. Se lo spettatore potesse scegliere di partire da una qualsiasi delle 52 carte, la probabilità sarebbe del 72% circa. In realtà si tratta di un caso limite, impossibile da presentare: c’è, infatti, il rischio che la carta da cui desidera partire lo spettatore sia successiva alla carta prevista, il che abbassa ulteriormente la percentuale stimata. Il 72% non tiene, infatti, conto di questa eventualità. Può essere utile rilevare che il gioco riesce ancora nel 90% dei casi se allo spettatore è concesso di scegliere una delle prime 20 carte, scende invece all’80% se la scelta è allargata alle prime 43 carte. Ecco come varia la probabilità all’aumentare dell’ampiezza della scelta iniziale:

• il fatto che il mago non parta dalla prima carta ma dalla seconda, dalla terza, ecc. ha una lieve influenza sulla percentuale di riuscita, che diminuisce all’aumentare della posizione della carta da cui parte. Ciò è dovuto al fatto che, allontanandosi dalla prima posizione, il percorso in media si accorcia e quindi - da quanto visto sopra - con esso diminuiscono le probabilità di successo. La prima posizione è quindi quella ottimale.

E’ liberamente scaricabile l’algoritmo che ho creato per effettuare l’analisi statistica.

Il principio applicato a un libro

Nel 1998 John Allen Paulos propose di applicare il principio a un testo letterario. (3)  Scegliendo liberamente una delle prime 10 parole e contando il numero di lettere che la compongono, è possibile compiere un percorso da una parola alla successiva, fino all’ultima raggiungibile - che è quasi sempre la stessa.

Martin Gardner ne diede un esempio biblico sul numero di agosto 1998 di Scientific American: (4) 

Martin Gardner, "A Quarter Century of Recreational Mathematics" in Scientific American, agosto 1998.

Scegliendo una parola dal primo versetto e attraversando il testo, fermandosi sulla prima parola che appartiene al terzo versetto, si finisce sempre su GOD.

L’anno successivo Gardner ripropose il gioco con il primo paragrafo della dichiarazione di indipendenza americana, mostrando che anche in questo caso si finisce sempre su GOD. (5) 

Naturalmente il gioco funziona in qualsiasi lingua. I primi tre versetti della Bibbia conducono tutti alla parola LUCE:

Per verificarlo - o mettere alla prova altri testi - ho realizzato uno strumento per l'Analisi automatica di percorsi di Kruskal, accessibile cliccando qui.

Note

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